La boite à curieux N°1

Rappel du premier message :

LES NOMBRES PREMIERS

Je suis persuadé que tout le monde sait ce qu'est un nombre premier ! On en parle déjà lorsque nous sommes en primaire, vous savez donc que Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts, ainsi 1 n'est pas premier contrairement à ce que la plupart des gens croient ^^. Les premiers nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23... et le plus gros connu est actuellement 2^43112609 - 1. Vous devez également savoir qu'un nombre premier n'est divisible que par lui même et par 1.
Quand on parle de nombres premiers, on parle de nombres naturels, c'est à dire de nombres entiers positifs (0,1,2...), l'ensemble des nombres naturels se note ℕ (N avec une double barre) et l'ensemble des nombres premiers se note ℙ (P avec une double barre), pour dire que l'ensemble des nombres premiers appartient à l'ensemble des nombres naturels, on écrit ℙ ⊂ ℕ ("⊂" signifie "inclut"); π(x) renvoie au xème nombre premier (π est la lettre grecques Pi): exemple, π(3) désigne le 3ème nombre premier (qui est 5).

Vous connaissez désormais la base :D...

Bon à savoir: Une conjecture établie il y a longtemps annonce que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de plusieurs nombres premiers (4=2+2, 6=3+3, 32=11+11+7+3...). Mais, personne n'a réussi jusqu'à aujourd'hui à démontrer pourquoi, ni à trouver de contre-exemple, si vous arrivez à le démontrer rigoureusement ou à trouver un contre exemple, vous deviendriez aussitôt millionnaire voire milliardaire ;)
________________________________________

Je vais lancer 5 défis de niveaux différents, je donnerai les réponses dans quelques jours ^^, osez les tenter, si vous vous référez à votre niveau, le défi prend peu de temps ^^

DEFI 1:
(Niveau 5ème, difficulté *, Temps de 1 min à 5 min selon la méthode de réflexion)

2013 est-il un nombre premier ?

DEFI 2:
(Niveau 5ème, difficulté *, Temps de 3 min environ)

Pouvez-vous donner une suite de 7 chiffres non premiers consécutifs ? (ex: pour 3 chiffres non premiers consécutifs, il y a 8-9-10)

A partir d'ici, nous admettons ( et vous me demanderez si vous voulez la démonstration rigoureuse ) que tout nombre non premier peut se décomposer en produit de nombres premiers (ainsi, 10= 2*5 où 2 et 5 sont premiers...).

DEFI 3:
(Niveau 2nd, difficulté ****, Temps de 5 min si on a la bonne méthode sinon presque impossible)

Pouvez-vous donner un suite de 100 chiffres consécutifs non premiers

DEFI 4:
(Niveau 3ème, difficulté ***, Temps de 1min à 30min selon la méthode)

Combien de diviseurs admet 23200 ?

DEFI 5:
(Niveau 1ère, difficulté ***** (max), Temps = ????)

Sauriez-vous démontrer rigoureusement qu'il y a une infinité de nombres premiers ? Ou alors sauriez-vous trouvez le plus grand ? (pour celle-ci je donnerai de nombreux indices et donnerai la démo ce week end :))

PS:
Vous-pouvez me poser autant de questions que vous le voulez,
Ne pompez pas sur internet please :3,
Je donnerai des indices de recherches début de week-end,
Si vous voulez comprendre ce qu'est une démonstration mathématiques et une conjecture demandez moi ^^,
Concrètement, on peut réussir tous les défis tout seul (sauf le 5) sans connaissances plus grandes que celles que je vous ai données et on peut les réussir à n'importe quel niveau (ceux que j'ai donnés sont juste à titre indicatif) mais il est évident qu'avec certaines technique que je donnerai en indices, tous ces défis deviennent plus simples !
Enfin, il y a encore une multitude de choses à apprendre sur les nombres premiers, si vous voulez en savoir plus je peux vous parler de plein d'autres choses et vous donner des liens ;)

Sur ce bon courage aux curieux !

>Inconnu< a écrit:

Mr.Carly a écrit:: LES NOMBRES PREMIERS

Je suis persuadé que tout le monde sait ce qu'est un nombre premier ! On en parle déjà lorsque nous sommes en primaire, vous savez donc que Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts, ainsi 1 n'est pas premier contrairement à ce que la plupart des gens croient ^^. Les premiers nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23... et le plus gros connu est actuellement 2^43112609 - 1. Vous devez également savoir qu'un nombre premier n'est divisible que par lui même et par 1.
Quand on parle de nombres premiers, on parle de nombres naturels, c'est à dire de nombres entiers positifs (0,1,2...), l'ensemble des nombres naturels se note ℕ (N avec une double barre) et l'ensemble des nombres premiers se note ℙ (P avec une double barre), pour dire que l'ensemble des nombres premiers appartient à l'ensemble des nombres naturels, on écrit ℙ ⊂ ℕ ("⊂" signifie "inclut"); π(x) renvoie au xème nombre premier (π est la lettre grecques Pi): exemple, π(3) désigne le 3ème nombre premier (qui est 5).

Vous connaissez désormais la base :D...

Bon à savoir: Une conjecture établie il y a longtemps annonce que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de plusieurs nombres premiers (4=2+2, 6=3+3, 32=11+11+7+3...). Mais, personne n'a réussi jusqu'à aujourd'hui à démontrer pourquoi, ni à trouver de contre-exemple, si vous arrivez à le démontrer rigoureusement ou à trouver un contre exemple, vous deviendriez aussitôt millionnaire voire milliardaire ;)
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Je vais lancer 5 défis de niveaux différents, je donnerai les réponses dans quelques jours ^^, osez les tenter, si vous vous référez à votre niveau, le défi prend peu de temps ^^

DEFI 1:
(Niveau 5ème, difficulté *, Temps de 1 min à 5 min selon la méthode de réflexion)

2013 est-il un nombre premier ?
= Non ce n'est pas un nombre premier car le zéro n'est pas un nombre premier avec le un.

Non c'est parce qu'il est divisible par 3 ;) j'avais deja donner la reponse ^^

missieu-ben747 a écrit:: Défis n°5 niveau première :choquer:

Il est pas très dur de compréhension...mais à un niveau plus avancé je pense. Le démontrer en première alors qu'on galère avec des dérivés :bouche bêt:
D'ailleurs, je me demande si elle ne serait pas sur un des mes ancien programme de colle celle-là :joyeux:

Le défi 5 je vais donner la démo mais si t'es le seul en série S je pense que tu seras le seul à comprendre :x Les autres ne dramatisez pas !! Vous comprendriez comme ça du premier coup vous seriez plus que surdoués je pense :P

Alors:

On va faire un démonstration par raisonnement absurde: c'est à dire que on suppose qu'il y a un nombre fini de nombres premiers, et on remarque par raisonnement logique que c'est impossible, donc qu'il ne peut y avoir qu'une infinité de nombres premiers.

Supposons donc que lP (l'ensemble des nombres premiers) est fini.
Alors je peux numéroter chaque nombre premier:

P1 < P2 < P < ... < Pn

Où P1 est le premier nombre premier ( donc 2) et Pn le plus grand nombre premier.

J'appelle M le produit de tous les nombres premiers plus un, donc
M = P1 x P2 x P3 x .... X Pn +1

Donc M > Pn,
Donc M n'est pas premier. Donc il admet au moins un diviseur propre premier que je nomme Pi (ce que j'ai dit d’admettre dans mon premier message ^^).

Cela veut dire que Pi divise M,
or Pi divise P1 x P2 x...x Pn car Pi est un nombre premier, il divise donc le produit de tous les nombres premiers.

Donc Pi divise P1 x ... x Pn
et Pi divise P1 x ... x Pn +1

Une autre démo mathématiques (que je vous épargne même si elle est assez simple ^^) nous indique donc que:

Pi divise 1 (c'est obligé)

Or si Pi divise 1, cela veut dire que Pi=1, ce qui est ABSURDE car on a pourtant prouvé que Pi est un nombre premier, mais 1 n'est pas premier.

Donc il y a une infinité de nombres premiers.

Quoi ?!

Mr.Carly a écrit:

missieu-ben747 a écrit:: Défis n°5 niveau première :choquer:

Il est pas très dur de compréhension...mais à un niveau plus avancé je pense. Le démontrer en première alors qu'on galère avec des dérivés :bouche bêt:
D'ailleurs, je me demande si elle ne serait pas sur un des mes ancien programme de colle celle-là :joyeux:

Le défi 5 je vais donner la démo mais si t'es le seul en série S je pense que tu seras le seul à comprendre :x Les autres ne dramatisez pas !! Vous comprendriez comme ça du premier coup vous seriez plus que surdoués je pense :P

Alors:

On va faire un démonstration par raisonnement absurde: c'est à dire que on suppose qu'il y a un nombre fini de nombres premiers, et on remarque par raisonnement logique que c'est impossible, donc qu'il ne peut y avoir qu'une infinité de nombres premiers.

Supposons donc que lP (l'ensemble des nombres premiers) est fini.
Alors je peux numéroter chaque nombre premier:

P1 < P2 < P < ... < Pn

Où P1 est le premier nombre premier ( donc 2) et Pn le plus grand nombre premier.

J'appelle M le produit de tous les nombres premiers plus un, donc
M = P1 x P2 x P3 x .... X Pn +1

Donc M > Pn,
Donc M n'est pas premier. Donc il admet au moins un diviseur propre premier que je nomme Pi (ce que j'ai dit d’admettre dans mon premier message ^^).

Cela veut dire que Pi divise M,
or Pi divise P1 x P2 x...x Pn car Pi est un nombre premier, il divise donc le produit de tous les nombres premiers.

Donc Pi divise P1 x ... x Pn
et Pi divise P1 x ... x Pn +1

Une autre démo mathématiques (que je vous épargne même si elle est assez simple ^^) nous indique donc que:

Pi divise 1 (c'est obligé)

Or si Pi divise 1, cela veut dire que Pi=1, ce qui est ABSURDE car on a pourtant prouvé que Pi est un nombre premier, mais 1 n'est pas premier.

Donc il y a une infinité de nombres premiers.

:aaaaaaaaa:

Rien compris 404 Not Found Effrayer

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Cordialement, mr.mask, Administrateur RF.
Coco de la Coco à la Coco !

Si vous voulez j'ai quelques défis supplémentaires, ~difficiles mais faisable sans connaissances spécifiques :

1. Une course oppose 100 concurrents, combien y-a-t-il de podiums possibles ?

2. On tire deux dés à 6 faces en même temps et on somme le résultat des deux dés, combien de lancers donnent 8 ? (faire un tableau est conseillé)